Qu'est-ce que théorème de convergence dominée ?

Le théorème de convergence dominée est un résultat important de la théorie de la mesure et de l'analyse mathématique. Il stipule que si une suite de fonctions mesurables converge presque partout (c'est-à-dire sauf éventuellement sur un ensemble de mesure nulle) vers une limite finie et que cette suite est dominée par une fonction intégrable, alors la convergence a lieu en intégration.

De manière plus précise, si (fn) est une suite de fonctions mesurables qui converge presque partout vers une fonction limite f, et s'il existe une fonction intégrable g telle que |fn(x)| ≤ g(x) pour tout n et tout x, alors f est intégrable et la limite de l'intégrale de fn quand n tend vers l'infini est égale à l'intégrale de f.

Ce théorème est une condition forte de convergence, mais elle est assez générale pour s'appliquer à de nombreuses situations. Il est également souvent utilisé pour prouver l'existence de limites dans d'autres contextes, tels que la convergence en probabilité en théorie des probabilités.